NOIP学习小站枚举算法是我们在日常中使用到的较多的一个算法，它简单粗暴，算法的核心是暴力枚举所有可能情况，并进一步从中筛选出满足条件的方案。因为枚举法编程实现最简单，并且得到的结果往往是正确的，所以虽然枚举算法非常暴力，而且速度可能很慢（导致超时），但却是我们编程以及竞赛时应该甚至是优先考虑的解决方案，特别是没有更好的优化方案的时候。当然如果能够将暴力枚举算法更好地优化，也完全有可能在设定的时间内求出正解。
本章节将依次介绍暴力枚举的三种策略：循环枚举、子集枚举和排列枚举。
循环枚举的策略是借助多重循环结构枚举所有可能的情况，是最简单的暴力枚举方法。和模拟算法策略一样，循环枚举也没有固定的做法，这里也通过例题来介绍循环枚举策略。但是需要注意的是，对于同一个问题，循环枚举的做法往往不止一种，其中有效率高运行速度快的，也有算法原始效率低下的，这也往往会导致超时。
因此在使用循环枚举暴力求解时也要想办法尽可能提高算法的效率。最简单的策略当然是减少多重循环的嵌套层级，例如原始的循环枚举算法需要三重循环，如果可以优化改进成双重循环甚至简单循环就能实现，那么程序效率会大大提升。也可以从减少循环次数的角度出发提高枚举效率，特别是越外层的循环，如果能减少循环次数，枚举效率会得到明显提升。
来看例题：P2089 烤鸡
方案：10种配料，每种配料可以放1～3克，问题要求的就是所有配料的质量之和为\(n\)的所有方案。最简答的做法当然是暴力循环枚举，使用一个10层循环来枚举每种配料的质量，因为每层循环都只枚举3个数，所以最内层循环执行的次数为\(3^{10}\)，虽然循环嵌套层次很大，但是执行次数在可控范围内，不会超时。实际操作时也可以只使用九重循环嵌套来暴力枚举，因为枚举了9种配料，最后一种配料可以直接计算出来。
#include<cstdio>
int main(){
int n,tot=0;
scanf("%d",&n);
//特判
if(n>30 || n<10){
printf("0\n");
return 0;
}
//第一次暴力枚举，计算方案数
for(int i1=1;i1<=3;i1++){
for(int i2=1;i2<=3;i2++){
for(int i3=1;i3<=3;i3++){
for(int i4=1;i4<=3;i4++){
for(int i5=1;i5<=3;i5++){
for(int i6=1;i6<=3;i6++){
for(int i7=1;i7<=3;i7++){
for(int i8=1;i8<=3;i8++){
for(int i9=1;i9<=3;i9++){
int x = n-i1-i2-i3-i4-i5-i6-i7-i8-i9;
if(x>=1 && x<=3) tot++;
}
}
}
}
}
}
}
}
}
printf("%d\n",tot);
//第二次暴力枚举，输出具体方案
for(int i1=1;i1<=3;i1++){
for(int i2=1;i2<=3;i2++){
for(int i3=1;i3<=3;i3++){
for(int i4=1;i4<=3;i4++){
for(int i5=1;i5<=3;i5++){
for(int i6=1;i6<=3;i6++){
for(int i7=1;i7<=3;i7++){
for(int i8=1;i8<=3;i8++){
for(int i9=1;i9<=3;i9++){
int x = n-i1-i2-i3-i4-i5-i6-i7-i8-i9;
if(x>=1 && x<=3){
printf("%d %d %d %d %d %d %d %d %d %d\n",i1,i2,i3,i4,i5,i6,i7,i8,i9,x);
}
}
}
}
}
}
}
}
}
}
return 0;
}很显然，上面的程序出现了重复的计算，我们可以想办法在最内层循环中使用数组记录下方案配料情况，这样只需要一次暴力枚举即可，这是典型的空间换时间策略（下面的程序去掉了一些不必要的括号）：
#include<cstdio>
//存储多个字符串的二维char数组
char s[20000][25];
int main(){
int n,tot=0;
scanf("%d",&n);
//特判
if(n>30 || n<10){
printf("0\n");
return 0;
}
//暴力枚举，记录方案
for(int i1=1;i1<=3;i1++)
for(int i2=1;i2<=3;i2++)
for(int i3=1;i3<=3;i3++)
for(int i4=1;i4<=3;i4++)
for(int i5=1;i5<=3;i5++)
for(int i6=1;i6<=3;i6++)
for(int i7=1;i7<=3;i7++)
for(int i8=1;i8<=3;i8++)
for(int i9=1;i9<=3;i9++){
int x = n-i1-i2-i3-i4-i5-i6-i7-i8-i9;
if(x>=1 && x<=3){
//使用sprintf输出到字符串中存储
sprintf(s[tot++],"%d %d %d %d %d %d %d %d %d %d\0",i1,i2,i3,i4,i5,i6,i7,i8,i9,x);
}
}
printf("%d\n",tot);
for(int i=0;i<tot;i++){
printf("%s\n",s[i]);
}
return 0;
}#include<cstdio>
//存储多个字符串的二维char数组
char s[20000][25];
int main(){
int n,tot=0;
scanf("%d",&n);
//特判
if(n>30 || n<10){
printf("0\n");
return 0;
}
//暴力枚举，记录方案
for(int i1=1;i1<=3;i1++){
for(int i2=1;i2<=3 && i1+i2<n;i2++){
for(int i3=1;i3<=3 && i1+i2+i3<n;i3++){
for(int i4=1;i4<=3 && i1+i2+i3+i4<n;i4++){
for(int i5=1;i5<=3 && i1+i2+i3+i4+i5<n;i5++){
for(int i6=1;i6<=3 && i1+i2+i3+i4+i5+i6<n;i6++){
for(int i7=1;i7<=3 && i1+i2+i3+i4+i5+i6+i7<n;i7++){
for(int i8=1;i8<=3 && i1+i2+i3+i4+i5+i6+i7+i8<n;i8++){
for(int i9=1;i9<=3 && i1+i2+i3+i4+i5+i6+i7+i8+i9<n;i9++){
int x = n-i1-i2-i3-i4-i5-i6-i7-i8-i9;
if(x<=3){
//使用sprintf输出到字符串中
sprintf(s[tot++],"%d %d %d %d %d %d %d %d %d %d\0",i1,i2,i3,i4,i5,i6,i7,i8,i9,x);
}
}
}
}
}
}
}
}
}
}
printf("%d\n",tot);
for(int i=0;i<tot;i++){
printf("%s\n",s[i]);
}
return 0;
}上面的程序数组究竟开多大呢？假设内层循环条件都满足，那么会有\(3^9\)（19683）种方案存储到数组中，所以可以开一个20000行的二维数组来存储方案（实际远远用不到这么多）。甚至可以专门编写一个程序通过打擂台来计算10～30的每一个数作为输入时的最多方案数，来作为开数组时数组的行数，这也是竞赛时的一些小技巧。
优化方案：上面的暴力枚举其实可以进一步优化的，例如i1+i2+i3+i4就已经超过\(n\)了，那么完全没有必要再进一步枚举剩下的配料了，可以使用break语句来避免这样的情况（也可以修改每层循环的条件），这样做限定了循环枚举的范围，当然能提高程序的执行效率：
#include<cstdio>
//存储多个字符串的二维char数组
char s[20000][25];
int main(){
int n,tot=0;
scanf("%d",&n);
//特判
if(n>30 || n<10){
printf("0\n");
return 0;
}
//暴力枚举，记录方案
for(int i1=1;i1<=3;i1++){
for(int i2=1;i2<=3;i2++){
if(i1+i2>=n) break; //可以不要
for(int i3=1;i3<=3;i3++){
if(i1+i2+i3>=n) break; //可以不要
for(int i4=1;i4<=3;i4++){
if(i1+i2+i3+i4>=n) break;
for(int i5=1;i5<=3;i5++){
if(i1+i2+i3+i4+i5>=n) break;
for(int i6=1;i6<=3;i6++){
if(i1+i2+i3+i4+i5+i6>=n) break;
for(int i7=1;i7<=3;i7++){
if(i1+i2+i3+i4+i5+i6+i7>=n) break;
for(int i8=1;i8<=3;i8++){
if(i1+i2+i3+i4+i5+i6+i7+i8>=n) break;
for(int i9=1;i9<=3;i9++){
int x = n-i1-i2-i3-i4-i5-i6-i7-i8-i9;
if(x>=1 && x<=3){
//使用sprintf输出到字符串中
sprintf(s[tot++],"%d %d %d %d %d %d %d %d %d %d\0",i1,i2,i3,i4,i5,i6,i7,i8,i9,x);
}
}
}
}
}
}
}
}
}
}
printf("%d\n",tot);
for(int i=0;i<tot;i++){
printf("%s\n",s[i]);
}
return 0;
}*使用宏构造语句
观察程序排版情况就可以看出，程序嵌套层次太多，不方便阅读。这里介绍一种特殊的宏构造语句来简化程序，先来看程序代码：
#include<cstdio>
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
//存储多个字符串的二维char数组
char s[60000][25];
int main(){
int n,tot=0;
scanf("%d",&n);
//特判
if(n>30 || n<10){
printf("0\n");
return 0;
}
//暴力枚举，记录方案
rep(i1,1,3) rep(i2,1,3) rep(i3,1,3) rep(i4,1,3) rep(i5,1,3)
rep(i6,1,3) rep(i7,1,3) rep(i8,1,3) rep(i9,1,3) rep(i10,1,3)
if(i1+i2+i3+i4+i5+i6+i7+i8+i9+i10==n){
//使用sprintf输出到字符串中
sprintf(s[tot++],"%d %d %d %d %d %d %d %d %d %d\0",i1,i2,i3,i4,i5,i6,i7,i8,i9,i10);
}
printf("%d\n",tot);
for(int i=0;i<tot;i++){
printf("%s\n",s[i]);
}
return 0;
}程序开始处定义了宏构造语句define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)，在程序里使用rep(i1,1,3)，程序编译时会被编译器按照宏定义语句自动替换成for(int i1=1;i1<=3;i1++)，就像字符串替换一样，其它使用rep的语句类似。
需要注意的是，在编译处理时，编译器只是简单的将宏调用语句按宏定义规则执行字符串替换。例如定义了一个宏define muilt(a,b) a*b，使用语句muilt(c+d,e)，会被替换成c+d*e，并不是想要的(c+d)*e。解决方法就是在宏定义时勤加括号，例如这里使用define muilt(a,b) (a)*(b)，就能有效避免宏替换时带来的运算优先级问题。